数学分析（下）知识点分类 | 文逸行

数学分析（下）知识点分类

基于《数学分析2-期末1》《数学分析2-期末2》两套试卷，按知识点分类整理。

来源试卷

• 数学分析2-期末2

• 数学分析2-期末1

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一、定积分的应用

选择题

• 第1题 [期末2/期末1] — 定积分可积性条件（连续、有界、单调与可积的关系） ✅ 2026-06-09

  选 B。$f$ 在 $[a,b]$ 上有界 不一定 可积（反例：狄利克雷函数有界但不可积）。连续 ⇒ 可积；单调 ⇒ 可积；可积 ⇒ 有界（必要条件）。

• 第3题 [期末2] — 利用定积分求两条抛物线 $y^2=x$ 与 $y=x^2$ 所围面积 ✅ 2026-06-09

  选 A $\dfrac13$。交点 $(0,0),(1,1)$，面积 $S=\displaystyle\int_0^1(\sqrt{x}-x^2)dx=\left[\frac23x^{3/2}-\frac{x^3}{3}\right]_0^1=\frac13$。

• 第3题 [期末1] — 抛物线 $y^2=x$ 与直线 $y=x$ 所围面积 ✅ 2026-06-09

  选 C $\dfrac16$。交点 $(0,0),(1,1)$，$S=\displaystyle\int_0^1(\sqrt{x}-x)dx=\left[\frac23x^{3/2}-\frac{x^2}{2}\right]_0^1=\frac23-\frac12=\frac16$。

• 第4题 [期末2] — 利用奇偶性计算定积分 $\displaystyle\int_{-1}^{1}\frac{x}{1+x^2+x^4}dx$ ✅ 2026-06-09

  选 D $0$。被积函数为奇函数，对称区间积分为 $0$。

• 第4题 [期末1] — 交换二次积分次序 $\displaystyle\int_{\pi/6}^{\pi/2}dx\int_{\sin x}^{1}f(x,y)dy$

  选 B。积分区域 $x\in[\pi/6,\pi/2],\ y\in[\sin x,1]$，换序后 $y\in[1/2,1],\ x\in[\arcsin y,\pi/2]$。

填空题

• 第8题 [期末2] — 利用定积分定义求极限 $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{1+\sqrt[3]{2}+\cdots+\sqrt[3]{n}}{n\sqrt[3]{n}}$（Riemann 和） ✅ 2026-06-09

  答案： $\dfrac34$。$\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac1n\sum_{k=1}^n\left(\frac{k}{n}\right)^{\!1/3}=\int_0^1 x^{1/3}dx=\frac34$。

• 第7题 [期末1] — 利用定积分定义求极限 $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{1+\sqrt{2}+\cdots+\sqrt{n}}{n\sqrt{n}}$（Riemann 和） ✅ 2026-06-09

  答案： $\dfrac23$。$\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac1n\sum_{k=1}^n\left(\frac{k}{n}\right)^{\!1/2}=\int_0^1 x^{1/2}dx=\frac23$。

• 第6题 [期末1] — 三角函数的定积分 $\displaystyle\int_0^{\pi/2}\frac{\cos x}{1+\sin^2 x}dx$ ✅ 2026-06-09

  答案： $\dfrac\pi4$。令 $u=\sin x$，原式 $=\displaystyle\int_0^1\frac{du}{1+u^2}=\arctan u|_0^1=\frac\pi4$。

计算题

• 第11题 [期末2] — 分段函数的定积分计算 $\displaystyle\int_{0}^{2}f(x-1)dx$ ✅ 2026-06-09

  答案： $\dfrac12$。令 $t=x-1$，原式 $=\displaystyle\int_{-1}^1 f(t)dt=\int_{-1}^0 t\,dt+\int_0^1 te^t\,dt=-\dfrac12+1=\dfrac12$。

• 第12题 [期末2] — 含变上限积分的极限 $\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\int_{0}^{x}\sin t^2dt}{x^2\sin x}$（洛必达法则 + 变上限求导） ✅ 2026-06-09

  答案： $\dfrac13$。$\dfrac00$ 型，洛必达：$\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\sin x^2}{2x\sin x+x^2\cos x}=\lim_{x\to0}\frac{x^2}{3x^2}=\frac13$。先换 $\sin x$ ：$\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\int_{0}^{x}\sin t^2dt}{x^3}=\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\sin x^2}{x^3}=\lim_{x\to0}\frac{x^2}{3x^2}=\frac13$

• 第11题 [期末1] — 含变上限积分的极限 $\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\int_0^x\sin t^2dt}{x\ln(1+x^2)}$（洛必达 + 变上限求导） ✅ 2026-06-09

  答案： $\dfrac13$。$\dfrac00$ 型，洛必达：$\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\sin x^2}{\ln(1+x^2)+\frac{2x^2}{1+x^2}}=\lim_{x\to0}\frac{x^2}{x^2+2x^2}=\frac13$（$\sin x^2\sim x^2,\ \ln(1+x^2)\sim x^2$）。先换 $\ln(1+x^2)$：$\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\int_0^x\sin t^2dt}{x^3}=\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\sin x^2}{x^3}=\lim_{x\to0}\frac{x^2}{x^3}=\frac13$

解答题

• 第16题 [期末2] — 旋转体体积：$y=2\sin x\,(0\le x\le\pi)$ 绕 $x$ 轴旋转 ✅ 2026-06-10

  答案： $2\pi^2$。$V=\displaystyle\pi\int_0^\pi y^2dx=4\pi\int_0^\pi\sin^2 x\,dx=2\pi^2$。

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二、多元函数的极限与连续

选择题

• 第2题 [期末2] — $\displaystyle\lim_{(x,y)\to(0,0)}x^2y^2\sin\frac{1}{xy}$（夹逼准则） ✅ 2026-06-09

  选 A $0$。$\left|x^2y^2\sin\frac{1}{xy}\right|\le x^2y^2\to0$，夹逼得极限为 $0$。

• 第2题 [期末1] — $\displaystyle\lim_{(x,y)\to(0,0)}xy\cos\frac{1}{xy}$（夹逼准则） ✅ 2026-06-09

  选 A $0$。$\left|xy\cos\frac{1}{xy}\right|\le|xy|\to0$，夹逼得极限为 $0$。

填空题

• 第6题 [期末2] — $\displaystyle\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{\tan(x^2+y^2)}{x^2+y^2}$（重要极限、极坐标变换） ✅ 2026-06-09

  答案： $1$。令 $t=x^2+y^2\to0$，$\displaystyle\lim_{t\to0}\frac{\tan t}{t}=1$。

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三、多元函数微分学

填空题

• 第7题 [期末2] — 偏导数计算 $f_x(0,0)$，$f(x,y)=x+\dfrac{x+y}{1+y}$ ✅ 2026-06-10

  答案： $2$。$f_x=1+\dfrac{1}{1+y}$，$f_x(0,0)=1+1=2$。

• 第8题 [期末1] — 全微分计算，$z=\dfrac{x}{x^2+y^2}$ 在 $(1,1)$ 处

  答案： $dz=-\dfrac12dy$。$z_x=\dfrac{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2}$，$z_y=-\dfrac{2xy}{(x^2+y^2)^2}$，在 $(1,1)$ 处 $z_x=0,\ z_y=-\dfrac12$。

计算题

• 第13题 [期末2] — 直接将 $x=2$ 代入后求偏导 $f_y(2,y)$ ✅ 2026-06-10

  答案： $4y$。代入 $x=2$ 得 $f(2,y)=2+2y^2$，故 $f_y(2,y)=4y$。

• 第14题 [期末2] — 复合函数偏导（链式法则），$z=f(xy,x^2)$

  答案： $\dfrac{\partial z}{\partial x}=yf_u+2xf_v$，$\dfrac{\partial^2z}{\partial x\partial y}=f_u+xyf_{uu}+2x^2f_{uv}$。

• 第13题 [期末1] — 复合函数偏导（链式法则），$z=f(xy^2,x^2)$

  答案： $\dfrac{\partial z}{\partial x}=y^2f_u+2xf_v$，$\dfrac{\partial^2z}{\partial x\partial y}=2yf_u+2xy^3f_{uu}+4x^2yf_{uv}$。设 $u=xy^2,\ v=x^2$，链式法则求导（注意 $f$ 二阶偏导连续 $\Rightarrow f_{uv}=f_{vu}$）。

• 第12题 [期末1] — 隐函数求导：$\ln\sqrt{x^2+y^2}=\arctan\dfrac{y}{x}$ 确定 $y=f(x)$

  答案： $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{x+y}{x-y}$。两边对 $x$ 求导化简得 $x+yy'=y'x-y$，解得 $y'=\dfrac{x+y}{x-y}$。

解答题

• 第17题 [期末2] — 隐函数 曲面 $x^2+3y^2+2z^2=6$ 在点 $(1,1,1)$ 处的切平面方程

  答案： $x+3y+2z=6$。$\nabla F=(2x,6y,4z)$ 在 $(1,1,1)$ 为 $(2,6,4)$ ⇒ $2(x-1)+6(y-1)+4(z-1)=0$。

• 第18题 [期末2] —方向导数与梯度：$u=x^2y^2$ 在 $(1,1,1)$ 处增长最快的方向及最大增长率 ✅ 2026-06-10

  答案： 方向 $\left(\dfrac1{\sqrt2},\dfrac1{\sqrt2},0\right)$，最大增长率 $2\sqrt2$。

• 第16题 [期末1] —隐函数 曲面 $4x^2+2y^2+z^2=4$ 在点 $(1,1,1)$ 处的切平面方程

  答案： $4x+2y+z=7$。$\nabla F=(8x,4y,2z)$ 在 $(1,1,1)$ 为 $(8,4,2)$ ⇒ 切平面 $8(x-1)+4(y-1)+2(z-1)=0$。
  ⚠️ 注意：点 $(1,1,1)$ 代入 $4x^2+2y^2+z^2=7\neq4$，该点不在曲面上，但试题要求在该点处的切平面，此处按公式法向量计算。

• 第17题 [期末1] — 方向导数与梯度：$u=x+xy^2$ 在 $(1,1,1)$ 处增长最快的方向及最大增长率 ✅ 2026-06-10

  答案： 方向 $\left(\dfrac1{\sqrt2},\dfrac1{\sqrt2},0\right)$，最大增长率 $2\sqrt2$。$\nabla u=(1+y^2,2xy,0)$，$(1,1,1)$ 处为 $(2,2,0)$。

• 第18题 [期末1] — 隐函数 条件极值（拉格朗日乘数法）：求曲线 $\begin{cases}x^2+y^2+z^2=16\\ x+y+z=4\end{cases}$ 上的最高、最低点

  答案： 最高点 $(0,0,4)$，最低点 $\left(\dfrac83,\dfrac83,-\dfrac43\right)$。由 $x+y=4-z,\ x^2+y^2=16-z^2$，利用不等式 $x^2+y^2\ge\frac{(x+y)^2}{2}$ 得 $-\dfrac43\le z\le4$。

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四、曲线积分

选择题

• 第5题 [期末2] — 第一型曲线积分：$\displaystyle\int_{L}(x^2+y^2)ds$，$L$ 为右半圆周 $x=\sqrt{1-y^2}$ ✅ 2026-06-10

  选 A $\pi$。$L$ 上 $x^2+y^2=1$，原式 $=\displaystyle\int_L1\cdot ds=$ 半圆周长 $=\pi$。

• 第5题 [期末1] — 第一型曲线积分：$\displaystyle\int_{L}\sqrt{x^2+y^2}ds$，$L$ 为上半圆周 $y=\sqrt{1-x^2}$ ✅ 2026-06-10

  选 A $\pi$。$L$ 上 $x^2+y^2=1$，$\sqrt{x^2+y^2}=1$，原式 $=\displaystyle\int_L1\cdot ds=$ 半圆周长 $=\pi$。

填空题

• 第9题 [期末2] — 第二型曲线积分：$\displaystyle\int_{L}\frac{-xdx+ydy}{x^2+y^2}$，$L$ 为单位圆周（逆时针）

  答案： $0$。参数化 $x=\cos\theta,\ y=\sin\theta$，原式 $=\displaystyle\int_0^{2\pi}\sin2\theta\,d\theta=0$。

计算题

• 第15题 [期末2] — 第一型曲线积分（空间曲线）：$\displaystyle\int_{L}y^2ds$，$L$ 为球面与平面的交线 ✅ 2026-06-11

  答案： $18\pi$。大圆（半径 $3$，周长 $6\pi$），由对称性$\displaystyle\int_L(x^2+y^2+z^2)ds=\int_L9ds=9\times\int_Lds=9\times(大圆长度)=9\times(6\pi)=54\pi$。$\displaystyle\because\int_Ly^2ds=\frac{1}{3}\int_L(x^2+y^2+z^2)ds\ \therefore\ 3\int_Ly^2ds=\int_L(x^2+y^2+z^2)ds=9\cdot6\pi=54\pi$。

• 第14题 [期末1] — 第一型曲线积分：$\displaystyle\int_{L}x^2ds$，$L:x^2+y^2=a^2\ (a>0)$ ✅ 2026-06-11

  答案： $\pi a^3$。由对称性 $\int_Lx^2ds=\int_Ly^2ds$，$2\int_Lx^2ds=a^2\cdot2\pi a$ ⇒ $\int_Lx^2ds=\pi a^3$。

解答题

• 第19题 [期末2] — 第二型曲线积分与路径无关：$\displaystyle\int_{(0,0)}^{(1,1)}(x-y)dx-(x-y)dy$ ✅ 2026-06-11

  答案： $0$。$\dfrac{\partial P}{\partial y}=-1=\dfrac{\partial Q}{\partial x}$ ⇒ 与路径无关。选折线 $(0,0)\to(1,0)\to(1,1)$ 计算得 $0$。

• 第19题 [期末1] — 第二型曲线积分与路径无关：$\displaystyle\int_{(0,0)}^{(2,2)}(x-2y)dx-(2x-y)dy$ ✅ 2026-06-11

  答案： $-4$。$\dfrac{\partial P}{\partial y}=-2=\dfrac{\partial Q}{\partial x}$ ⇒ 与路径无关。选折线 $(0,0)\to(2,0)\to(2,2)$，计算得 $-4$。

综合题

• 第21题 [期末2] — 格林公式计算第二型曲线积分 ✅ 2026-06-11

  答案： $4\pi$。补线 $L_0:y=0\;(x:2\to0)$ 封闭半圆 $D$。$\dfrac{\partial Q}{\partial x}-\dfrac{\partial P}{\partial y}=8$，格林公式 $=8\cdot\dfrac{\pi}{2}=4\pi$。

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五、重积分

填空题

• 第10题 [期末2] — 二重积分：$\displaystyle\iint_{D}(x^2+y^2)dxdy$，$D:x^2+y^2\le1$（极坐标） ✅ 2026-06-18

  答案： $\dfrac{\pi}{2}$。$\displaystyle\int_0^{2\pi}d\theta\int_0^1 r^2\cdot r\,dr=2\pi\cdot\frac14=\frac{\pi}{2}$。

• 第10题 [期末1] — 二重积分：$\displaystyle\iint_{D}(x^2+y^2)dxdy$，$D:x^2+y^2\le4$（极坐标） ✅ 2026-06-18

  答案： $8\pi$。$\displaystyle\int_0^{2\pi}d\theta\int_0^2 r^2\cdot r\,dr=2\pi\cdot\frac{16}{4}=8\pi$。

• 第15题 [期末1] — 二重积分：$\displaystyle\iint_{D}xy\,dxdy$，$D$ 由 $y=x,\ x=1,\ y=0$ 围成 ✅ 2026-06-18

  答案： $\dfrac18$。$\displaystyle\int_0^1dx\int_0^x xy\,dy=\int_0^1x\cdot\frac{x^2}{2}dx=\frac12\int_0^1x^3dx=\frac18$。

解答题

• 第20题 [期末2] — 三重积分：$\displaystyle\iiint_{V}(1+z)dV$，$V$ 由 $z=\sqrt{x^2+y^2},\ z=1,\ z=2$ 围成（柱坐标）

  答案： $\dfrac{73\pi}{12}$。柱坐标 $\theta\in[0,2\pi],\ z\in[1,2],\ r\in[0,z]$，$=2\pi\displaystyle\int_1^2(1+z)\frac{z^2}{2}dz=\pi\left[\frac{z^3}{3}+\frac{z^4}{4}\right]_1^2=\frac{73\pi}{12}$。

• 第20题 [期末1] — 三重积分：$\displaystyle\iiint_{V}(1+x)dV$，$V$ 由 $x=\sqrt{y^2+z^2},\ x=1,\ x=2$ 围成（柱坐标）

  答案： $\dfrac{73\pi}{12}$。与期末2第20题本质相同，仅将 $z$ 轴换为 $x$ 轴。柱坐标 $\theta\in[0,2\pi],\ x\in[1,2],\ r\in[0,x]$，计算结果相同。

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六、曲面积分

综合题

• 第22题 [期末2] — 高斯公式计算第二型曲面积分

  答案： $\dfrac{3\pi}{2}$。锥面 $z=\sqrt{x^2+y^2}\ (0\le z\le1)$ 下侧，补面 $z=1$ 上侧，散度 $2z$。$\iiint_V2z\,dV=\dfrac{\pi}{2}$，$\iint_{\Sigma_1}=-\pi$，$\iint_{\Sigma}=\dfrac{3\pi}{2}$。

• 第21题 [期末1] — 高斯公式计算第二型曲面积分

  答案： $\dfrac{11\pi}{3}$。抛物面 $z=x^2+y^2\ (0\le z\le1)$ 下侧，补面 $\Sigma_1:z=1$ 上侧。$P=2x,\ Q=2y,\ R=z^2-4z$，散度 $=2z$。$\displaystyle\iiint_V2z\,dV=2\pi\int_0^1 r\,dr\int_{r^2}^1 2z\,dz=2\pi\int_0^1 r(1-r^4)dr=2\pi\cdot\frac13=\frac{2\pi}{3}$，$\displaystyle\iint_{\Sigma_1}=(1^2-4)\cdot\pi=-3\pi$，$\displaystyle\iint_{\Sigma}=\frac{2\pi}{3}-(-3\pi)=\frac{11\pi}{3}$。

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七、证明题

证明题

• 第22题 [期末1] — 证明 $f(x,y)=\begin{cases}\dfrac{x^2y}{x^2+y^2},&x^2+y^2\neq0\\0,&x^2+y^2=0\end{cases}$ 在 $(0,0)$ 处连续、偏导存在、但不可微

  证明：

  1. 连续性：$\left|\dfrac{x^2y}{x^2+y^2}\right|\le|y|\to0$，故 $\lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y)=0=f(0,0)$，连续。
  2. 偏导数存在：$f_x(0,0)=\lim_{h\to0}\frac{f(h,0)-0}{h}=0$，$f_y(0,0)=\lim_{h\to0}\frac{f(0,h)-0}{h}=0$。
  3. 不可微：若可微则 $df=0$，但 $\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{f(x,y)-0}{\sqrt{x^2+y^2}}=\lim\frac{x^2y}{(x^2+y^2)^{3/2}}$。沿 $y=x$ 趋于 $(0,0)$，极限 $=\frac{1}{2\sqrt2}\neq0$，故不可微。

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题型分布统计（综合两套试卷）

章节	期末2 题号	期末1 题号	总分（约）
定积分的应用	第1,3,4,8,11,12,16题	第1,3,4,6,7,11题	≈20分
多元函数的极限与连续	第2,6题	第2题	≈5分
多元函数微分学	第7,13,14,17,18题	第8,12,13,16,17,18题	≈24分
曲线积分	第5,9,15,19,21题	第5,14,19题	≈22分
重积分	第10,20题	第10,15,20题	≈12分
曲面积分	第22题	第21题	≈8分
证明题	—	第22题	≈7分

注：

• 期末1第1题与期末2第1题相同（可积性条件），合并标记。
• 期末1第20题与期末2第20题本质相同（三重积分，仅坐标轴重命名）。
• 期末1第16题（切平面）的点 $(1,1,1)$ 不在曲面 $4x^2+2y^2+z^2=4$ 上，疑为试题笔误，但仍按公式给出切平面方程。

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附录

不定积分公式

序号	积分公式	序号	积分公式
1	$\int 0 dx = C$	2	$\int x^\alpha dx = \frac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1} + C \quad (\alpha \neq -1)$
3	$\int a^x dx = \frac{a^x}{\ln a} + C$	4	$\int \frac{1}{x} dx = \ln|x| + C$
5	$\int \sin x dx = -\cos x + C$	6	$\int \cos x dx = \sin x + C$
7	$\int \sec^2 x dx = \tan x + C$	8	$\int \csc^2 x dx = -\cot x + C$
9	$\int \sec x \cdot \tan x dx = \sec x + C$	10	$\int \csc x \cdot \cot x dx = -\csc x + C$
11	$\int \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}} = \arcsin x + C = -\arccos x + C$	12	$\int \frac{dx}{1+x^2} = \arctan x + C = -\text{arccot } x + C$

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