二元函数的极限

一、重极限

定义：
设二元函数 $f(P)$ 在定义域 $D$ 上有定义， $P_0$ 是 $D$ 的聚点。

\forall \varepsilon > 0, \exists \delta > 0, \text{ 当 } P \in \mathring{U}(P_0, \delta) \cap D \text{ 时，恒有：}

|f(P) - A| < \varepsilon

则称当 $P \to P_0$ 时， $f(P)$ 在 $D$ 上的极限为 $A$ ，记作：

\lim_{\substack{P \to P_0 \\ P \in D}} f(P) = A

L_1 = \lim_{y \to y_0} \lim_{x \to x_0} f(x, y)

L_2 = \lim_{x \to x_0} \lim_{y \to y_0} f(x, y)

💡 概念辨析笔记：

重极限要求点 $P$ 以任意路径趋近于 $沿 P_0$ 时，函数值都趋于同一个常数 $A$ 。

累次极限则是分别沿平行于坐标轴的方向，先后进行两次一元函数的极限过程。两者并不完全等价==（重极限存在时，累次极限不一定存在；反之亦然）==。