定积分的应用 | 文逸行

第十章 定积分的应用

一、 定积分的定义与基本概念

1. 定积分的定义

任给 $\varepsilon > 0$，存在 $\delta > 0$，对区间 $[a, b]$ 的任何分割 $T: a = x_0 < x_1 < \cdots < x_n = b$，及任意在 $[x_{i-1}, x_i]$ 上的点 $\xi_i$ ($i = 1, 2, \cdots, n$)，只要 $\|T\| = \max\limits_{1 \le i \le n} \{\Delta x_i\} < \delta$ 时，必有：

$$\left| \sum_{i=1}^n f(\xi_i)\Delta x_i - J \right| < \varepsilon$$

则称 $J$ 为 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上的定积分，记作：

$$J = \int_a^b f(x)dx = \lim_{\|T\| \to 0} \sum_{i=1}^n f(\xi_i)\Delta x_i$$

2. 牛顿-莱布尼茨公式 (Newton-Leibniz Formula)

设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，且存在原函数 $F(x)$，即 $F'(x) = f(x)$，则：

1. $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上可积。

2. $\int_a^b f(x)dx = F(x) \Big|_a^b = F(b) - F(a)$

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二、 可积条件

设 $A \Rightarrow$ 可积 $\Rightarrow B$，其中 $A$ 是充分条件，$B$ 是必要条件。

1. 可积 $\Rightarrow B$ （必要条件）

• 有界性：若函数 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上可积，则 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上必定有界。

2. $A \Rightarrow$ 可积 （充分条件）

• 连续：若 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，则 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上可积。

• 有限个间断点：若 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上是有界函数，且只有有限个间断点，则 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上可积。

• 单调：若 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上单调，则 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上可积。

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三、 定积分的性质

• 线性可积性：积分运算具有线性性质（即齐次性与可加性）。

• 积分中值定理：设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，则至少存在一点 $\xi \in [a, b]$，使得：
  

  $$\int_a^b f(x)dx = f(\xi)(b - a)$$

• 推论（广义积分中值定理）：设 $f(x), g(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，$g(x)$ 在 $[a, b]$ 上不变号（同侧），则至少存在一点 $\xi \in [a, b]$，使得：
  

  $$\int_a^b f(x)g(x)dx = f(\xi)\int_a^b g(x)dx$$

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四、 变限积分

若 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，定义变上限积分函数 $\Phi(x) = \int_a^x f(t)dt$，则 $\Phi(x)$ 在 $[a, b]$ 上可导，且：

$$\Phi'(x) = \frac{d}{dx} \int_a^x f(t)dt = f(x) \quad (x \in [a, b])$$

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五、 积分第二中值定理

(注：手写笔记中列出了此标题，未记录具体公式)

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六、 积分计算方法

1. 换元法 (Substitution Method)

公式：

$$\int_{\alpha}^{\beta} f[\psi(t)]\psi'(t)dt = \int_a^b f(x)dx$$

例1

计算：$\int_0^2 \frac{x}{\sqrt{1+x^2}} dx$

解题步骤：

1. 变形积分项：
   

   $$\int_0^2 \frac{1}{\sqrt{1+x^2}} d\left(\frac{1}{2}x^2\right)$$

2. 统一成 $(1+x^2)^{-\frac{1}{2}}$ 和 $\frac{1}{2}x^2$ 的形式：
   

   $$d\left(\frac{1}{2}x^2\right) = \frac{1}{2}dx^2 = \frac{1}{2}d(x^2+1)$$

3. 令 $t = 1+x^2$，当 $x \in [0, 2]$ 时，$t \in [1, 5]$：
   

   $$\text{原式} = \frac{1}{2} \int_0^2 (1+x^2)^{-\frac{1}{2}} d(x^2+1) = \frac{1}{2} \int_1^5 t^{-\frac{1}{2}}dt$$

4. 计算最终结果：
   

   $$\frac{1}{2} \cdot \left[ 2t^{\frac{1}{2}} \right]_1^5 = \sqrt{5} - 1$$

2. 分部积分法 (Integration by Parts)

公式：

$$\int_a^b u(x)dv(x) = u(x)v(x) \Big|_a^b - \int_a^b v(x)du(x)$$

例2
计算：$\int_0^{\frac{1}{2}} \arcsin x dx$

解题步骤：

1. 设 $u = \arcsin x$，$dv = dx$：

   • 则 $du = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx$，$v = x$

2. 带入公式：
   

   $$\text{原式} = x \arcsin x \Big|_0^{\frac{1}{2}} - \int_0^{\frac{1}{2}} \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} dx$$

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定积分的应用

一、 体积（旋转体）

设函数 $f(x)$ 在闭区间 $[a, b]$ 上连续。由平面图形 $A = \{ (x, y) \mid 0 \le |y| \le |f(x)|, a \le x \le b \}$ 绕 $x$ 轴旋转一周所得的旋转体体积：

$$V = \pi \int_{a}^{b} f^2(x) \, dx$$

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二、 弧长

1. 参数方程形式

若曲线由参数方程表示：

$$\begin{cases} x = x(t) \\ y = y(t) \end{cases} \quad t \in [\alpha, \beta]$$

其弧长公式为：

$$s = \int_{\alpha}^{\beta} \sqrt{x'^2(t) + y'^2(t)} \, dt$$

2. 极坐标形式

若曲线由极坐标方程表示：

$$\rho = r(\theta), \quad \theta \in [\alpha, \beta]$$

其弧长公式为：

$$s = \int_{\alpha}^{\beta} \sqrt{r^2(\theta) + r'^2(\theta)} \, d\theta$$

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三、 曲率

1. 参数方程形式

对于参数方程表示的曲线，其曲率 $k$ 的计算公式为：

$$k = \frac{|x'y'' - x''y'|}{(x'^2 + y'^2)^{\frac{3}{2}}}$$

2. 直角坐标形式

若曲线方程为 $y = f(x)$，则其曲率 $k$ 的计算公式为：

$$k = \frac{|y''|}{(1 + y'^2)^{\frac{3}{2}}}$$

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四、 旋转曲面的面积

1. 直角坐标形式

若曲线 $y = f(x)$ 绕 $x$ 轴旋转，所围成的旋转曲面面积为：

$$S = 2\pi \int_{a}^{b} |f(x)| \sqrt{1 + f'^2(x)} \, dx$$

2. 参数方程形式

若曲线由参数方程表示：

$$\begin{cases} x = x(t) \\ y = y(t) \end{cases} \quad t \in [\alpha, \beta]$$

该曲线绕 $x$ 轴旋转一周所得的旋转曲面面积为：

$$S = 2\pi \int_{\alpha}^{\beta} |y(t)| \sqrt{x'^2(t) + y'^2(t)} \, dt$$

附录：常用不定积分基本公式表

序号	积分公式	序号	积分公式
1	$\int 0 dx = C$	2	$\int x^\alpha dx = \frac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1} + C \quad (\alpha \neq -1)$
3	$\int a^x dx = \frac{a^x}{\ln a} + C$	4	$\int \frac{1}{x} dx = \ln|x| + C$
5	$\int \sin x dx = -\cos x + C$	6	$\int \cos x dx = \sin x + C$
7	$\int \sec^2 x dx = \tan x + C$	8	$\int \csc^2 x dx = -\cot x + C$
9	$\int \sec x \cdot \tan x dx = \sec x + C$	10	$\int \csc x \cdot \cot x dx = -\csc x + C$
11	$\int \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}} = \arcsin x + C = -\arccos x + C$	12	$\int \frac{dx}{1+x^2} = \arctan x + C = -\text{arccot } x + C$

特别地：

• $\int \frac{1}{2\sqrt{x}} dx = \sqrt{x} + C$

• $\int -\frac{1}{x^2} dx = \frac{1}{x} + C$

• $\int e^x dx = e^x + C$

• $\int 1 dx = \int dx = x + C$

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