多元函数微分学 | 文逸行

第十七章 多元函数微分学

一、基本概念与可微性条件

1. 全微分 (Total Differential)

函数在点 $P_0(x_0, y_0)$ 处的全微分为：

$$df\Big|_{P_0} = df(x_0, y_0) = A dx + B dy$$

其中：

• $A = f_x(x_0, y_0)$

• $B = f_y(x_0, y_0)$

2. 偏导数 (Partial Derivative)

• 核心思想：把非导变量视为常数进行求导。

3. 可微性条件

• 必要条件：

  1. 偏导数存在。
  2. 函数连续。

• 充分条件：

  • 偏导数存在且连续。

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二、几何应用

设曲面方程为 $z = f(x, y)$，在点 $P_0(x_0, y_0, z_0)$ 处：

1. 切平面方程 (Tangent Plane)

$$z - z_0 = f_x(x_0, y_0)(x - x_0) + f_y(x_0, y_0)(y - y_0)$$

2. 法线方程 (Normal Line)

$$\frac{x - x_0}{f_x(x_0, y_0)} = \frac{y - y_0}{f_y(x_0, y_0)} = \frac{z - z_0}{-1}$$

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三、复合函数求导与全微分

1. 复合函数求导路径（树状图分析）

设 $z = f(x, y)$，其中 $(x, y)$ 满足 $\mathcal{D} = \{x = \varphi(s, t), y = \psi(s, t)\}$：

    z = f(x, y)          <--- 因变量
    /         \
   x           y         <--- 中间变量
 /   \       /   \
s     t     s     t      <--- 自变量

• 如何处理（链式法则）：壳函数路径相乘，有别路径相加，从头到尾。

  • $\frac{\partial z}{\partial s} = \frac{\partial z}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial s} + \frac{\partial z}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial s}$
  • $\frac{\partial z}{\partial t} = \frac{\partial z}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial t} + \frac{\partial z}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial t}$

2. 复合函数的全微分

$$dz = \frac{\partial z}{\partial x} dx + \frac{\partial z}{\partial y} dy$$

其中自变量本身又是复合函数：

$$dx = \frac{\partial x}{\partial s} ds + \frac{\partial x}{\partial t} dt$$

$$dy = \frac{\partial y}{\partial s} ds + \frac{\partial y}{\partial t} dt$$

• 全微分形式不变性：无论 $x, y$ 是自变量还是中间变量，全微分的形式保持一致。

3. 复合函数高阶偏导数

(注：手写笔记吐槽"好烦，我不想写了。总之按之前的方法慢慢来，多练四道。链接至上文多元函数偏导数。")

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四、方向导数与梯度

1. 方向导数 (Directional Derivative)

• 定义：

  $$\lim_{\rho \to 0^+} \frac{f(P) - f(P_0)}{\rho}$$
  
  记作 $\frac{\partial f}{\partial l}\Big|_{P_0}$，其中 $l$ 为方向。

• 计算公式：
  

  $$\frac{\partial f}{\partial l}\Big|_{P_0} = f_x(P_0)\cos\alpha + f_y(P_0)\cos\beta + f_z(P_0)\cos\gamma$$
  
  (其中 $\cos\alpha, \cos\beta, \cos\gamma$ 为方向 $l$ 的方向余弦)

2. 梯度 (Gradient)

• 定义：
  

  $$\text{grad } f(P_0) = (f_x(P_0), f_y(P_0), f_z(P_0))$$

• 模（长度）：
  

  $$\|\text{grad } f(P_0)\| = \sqrt{f_x^2(P_0) + f_y^2(P_0) + f_z^2(P_0)}$$

3. 方向导数与增长率

• 某方向的方向导数 $\Rightarrow$ 该方向的增长率。

• 方向最陡（变化最快）的方向 $\Rightarrow$ 梯度方向 $\Rightarrow$ 最快增长率。

求增长最快的方向和增长率

步骤：

1. 求各偏导 $f_x, f_y, f_z$。

2. 梯度 $\text{grad } f(P_0) = (f_x(P_0), f_y(P_0), f_z(P_0))$。

3. 最快增长率 $= |\text{grad } f(P_0)|$（梯度方向的方向导数即梯度本身的模长）。

例 1：$u = x^2 y^2$，在点 $(1,1,1)$

求最快的方向：

• $u_x = 2xy^2 = 2$，$u_y = 2x^2y = 2$，$u_z = 0$

• $\Rightarrow \text{grad } u(1,1,1) = (2, 2, 0)$

增长率：

$$|\text{grad } u(1,1,1)| = \sqrt{2^2 + 2^2 + 0^2} = 2\sqrt{2}$$

例 2：$u = x + xy^2$，在点 $(1,1,1)$

• $u_x = 1 + y^2 = 2$，$u_y = 2xy = 2$，$u_z = 0$

• $\Rightarrow \text{grad } u(1,1,1) = (2, 2, 0)$

• 增长率 $= |\text{grad } u| = 2\sqrt{2}$

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五、泰勒定理 (Taylor’s Theorem)

设 $f_x = f_y = 0$，函数具有 $n+1$ 阶连续偏导数。对于点 $(x_0+h, y_0+k)$，存在 $\theta \in (0, 1)$，泰勒展开式为：

$$f(x_0+h, y_0+k) = f(x_0, y_0) + \left(h\frac{\partial}{\partial x} + k\frac{\partial}{\partial y}\right)f(x_0, y_0) + \frac{1}{2!}\left(h\frac{\partial}{\partial x} + k\frac{\partial}{\partial y}\right)^2 f(x_0, y_0) + \cdots + \frac{1}{n!}\left(h\frac{\partial}{\partial x} + k\frac{\partial}{\partial y}\right)^n f(x_0, y_0) + R_n$$

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六、极值问题

1. 极值定义

• 极大值：对于 $\forall P \in U(P_0)$，均有 $f(P) \le f(P_0)$，则称 $f(P_0)$ 为极大值。

2. 极值存在的条件

(1) 必要条件

若函数在 $(x_0, y_0)$ 处取得极值，则：

$$f_x(x_0, y_0) = f_y(x_0, y_0) = 0$$

此时点 $(x_0, y_0)$ 称为稳定点（驻点）。

(2) 充分条件（海塞矩阵 Hessian Matrix）

构造海塞矩阵：

$$H_f(P_0) = \begin{pmatrix} f_{xx}(P_0) & f_{xy}(P_0) \\ f_{yx}(P_0) & f_{yy}(P_0) \end{pmatrix}$$

• 正定矩阵 $\Rightarrow$ 取得极小值。

• 负定矩阵 $\Rightarrow$ 取得极大值。

• 不定矩阵 $\Rightarrow$ 无极值（鞍点）。

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