曲线积分 | 文逸行

第二十章 曲线积分

一、第一型曲线积分（对弧长的曲线积分）

1. 参数化计算公式

设曲线 $L$ 的参数方程为：

$$L: \begin{cases} x = x(t) \\ y = y(t) \end{cases} \quad t \in [\alpha, \beta]$$

则第一型曲线积分计算公式为：

$$\int_L f(x, y) ds = \int_{\alpha}^{\beta} f(x(t), y(t)) \sqrt{x'^2(t) + y'^2(t)} dt$$

2. 几何意义

以 $L$ 为准线，母线平行于 $z$ 轴，截取 $0 \le z \le f(x, y)$ 的柱面部分的面积。

3. 示例与练习

• 半圆周示例：

  $$L: \begin{cases} x = a\cos t \\ y = a\sin t \end{cases} \quad 0 \le t \le \pi$$
  
  计算 $\int_L (x^2 + y^2) ds$：
  
  $$\int_L (x^2 + y^2) ds = \int_0^{\pi} a^2 \cdot a dt = a^3 \pi$$

• 交线圆示例：已知曲线为球面与平面的交线圆：

  $$\begin{cases} x^2 + y^2 + z^2 = a^2 \\ x + y + z = 0 \end{cases}$$
  
  利用对称性计算：
  
  $$\int_L x^2 ds = \frac{1}{3} \int_L (x^2 + y^2 + z^2) ds = \frac{1}{3} \int_L a^2 ds = \frac{1}{3} a^2 \cdot 2\pi a = \frac{2}{3}\pi a^3$$

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二、第二型曲线积分（对坐标的曲线积分）

1. 定义与记号

力和变力做功的积分：

$$\int_L P(x, y)dx + Q(x, y)dy$$

其中 $P$ 和 $Q$ 是关于正方向的速率分量。若 $L$ 封闭，则记作：

$$\oint_L Pdx + Qdy$$

2. 方向性（与方向有关）

$$\int_{AB} Pdx + Qdy = -\int_{BA} Pdx + Qdy$$

3. 参数化计算公式

设 $L$ 的起点到终点参数方程为：

$$L: \begin{cases} x = \varphi(t) \\ y = \psi(t) \end{cases} \quad t: \alpha \to \beta$$

对应的起点和终点坐标为 $A(\varphi(\alpha), \psi(\alpha))$ 和 $B(\varphi(\beta), \psi(\beta))$。

$$\int_L P(x, y)dx + Q(x, y)dy = \int_{\alpha}^{\beta} \left[ P(\varphi(t), \psi(t))\varphi'(t) + Q(\varphi(t), \psi(t))\psi'(t) \right] dt$$

• 直角坐标直接代入法：若 $y = f(x)$，自变量从 $x_1 \to x_2$：则将 $y = f(x)$ 和 $dy = f'(x)dx$ 直接代入积分式中，转化为对 $x$ 的定积分。例如 $y = 2x - 1$，则 $y' = 2$，$dy = 2dx$。

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三、格林公式 (Green’s Theorem)

$$\oint_L Pdx + Qdy = \iint_D \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right) dxdy \quad (\text{逆时针方向})$$

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四、验证积分与路径无关并求值

1. 路径无关的条件

验证区域内是否满足偏导数相等：

$$\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x}$$

2. 求值方法（分段积分法）

通常将积分路径拆分为水平 + 竖直两段：

• 水平段：$y = C$（常数），$\Rightarrow dy = 0$

• 竖直段：$x = C$（常数），$\Rightarrow dx = 0$

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五、利用格林公式计算（开口曲线的补全法）

1. 补全图形：将开口曲线 $\to$ 封闭曲线（添加辅助线段）。

2. 应用格林公式：

   • 判断边界方向：顺时针还是逆时针（通常逆时针为正向）。
   • 计算偏导数 $\frac{\partial Q}{\partial x}$ 和 $\frac{\partial P}{\partial y}$ 并代入公式。
   • 提常数。
   • 计算二重积分 $\iint_D dA$（若 $D$ 是圆，积分结果即为圆的面积）。

3. 减去辅助线：把补全时多出来的边界积分部分减掉。整理

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