线性变换、矩阵表示与特征值 | 文逸行

第六章 线性变换、矩阵表示与特征值

一、线性变换

1. 定义与性质

线性变换需满足：

• 可加性：

  $$\mathcal{A}(\alpha + \beta) = \mathcal{A}\alpha + \mathcal{A}\beta$$

• 齐次性：

  $$\mathcal{A}(k\alpha) = k\mathcal{A}(\alpha)$$

2. 唯一性

$$\mathcal{A}\varepsilon_i = \mathcal{B}\varepsilon_i \iff \mathcal{A} = \mathcal{B}$$

3. $\mathcal{A}$ 的核 (Kernel)

$$\ker\mathcal{A} = \{\alpha \mid \mathcal{A}\alpha = 0, \alpha \in V\}$$

---

二、线性变换的矩阵描述

设 $\varepsilon_1, \varepsilon_2, \cdots, \varepsilon_n$ 为空间的一组基，线性变换在此基下的映射关系为：

$$\begin{cases} \mathcal{A}\varepsilon_1 = a_{11}\varepsilon_1 + a_{21}\varepsilon_2 + \cdots + a_{n1}\varepsilon_n \\ \mathcal{A}\varepsilon_2 = a_{12}\varepsilon_1 + a_{22}\varepsilon_2 + \cdots + a_{n2}\varepsilon_n \\ \quad \vdots \\ \mathcal{A}\varepsilon_n = a_{1n}\varepsilon_1 + a_{2n}\varepsilon_2 + \cdots + a_{nn}\varepsilon_n \end{cases}$$

1. 矩阵表示

对应矩阵为：

$$A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{pmatrix}$$

2. 简写形式

$$\mathcal{A}\varepsilon_1 = \begin{pmatrix} a_{11} \\ a_{21} \\ \vdots \\ a_{n1} \end{pmatrix}$$

$$\mathcal{A}(\varepsilon_1, \varepsilon_2, \cdots, \varepsilon_n) = (\varepsilon_1, \varepsilon_2, \cdots, \varepsilon_n)A$$

3. 坐标变换公式

设 $\alpha = (\varepsilon_1, \varepsilon_2, \cdots, \varepsilon_n) \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix}$，则 $\mathcal{A}\alpha$ 在基 $\varepsilon_1, \varepsilon_2, \cdots, \varepsilon_n$ 下的坐标为：

$$\begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \\ \vdots \\ y_n \end{pmatrix} = A \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix}$$

---

三、相似矩阵与特征值对角化

1. 相似矩阵

若 $B = X^{-1}AX$，则称矩阵 $A$ 与 $B$ 相似。

性质：相似矩阵的特征多项式相同，特征值相同。

2. 特征向量与对角化

目的：寻找一组基使线性变换的矩阵为对角矩阵。

$$\mathcal{A}(\varepsilon_1, \varepsilon_2, \cdots, \varepsilon_n) = (\varepsilon_1, \varepsilon_2, \cdots, \varepsilon_n) \begin{pmatrix} \lambda_1 & & & \\ & \lambda_2 & & \\ & & \ddots & \\ & & & \lambda_n \end{pmatrix}$$

即：

$$\mathcal{A}\varepsilon_i = \lambda_i \varepsilon_i \implies A\xi = \lambda \xi$$

定义：$\lambda$ 为 $A$ 的一个特征值，$\xi$ 为 $A$（对应 $\lambda$）的特征向量。

3. 如何求特征值？

引入特征多项式：

$$\lambda \text{ 是 } A \text{ 的特征值} \iff |\lambda I - A| = 0$$

---

四、例题与应用

1. 例1：判断/验证线性变换

• 验证 $\mathcal{A}(\alpha + \beta) = \mathcal{A}\alpha + \mathcal{A}\beta$ 以及 $\mathcal{A}(k\alpha) = k\mathcal{A}\alpha$ 是否成立。

• 技巧：通常看映射表达式中变量的次数是否为 1 或 0。

2. 例2：过渡矩阵与坐标变换

已知 $\beta_1 = \alpha_1 + 2\alpha_2,\;\beta_2 = \alpha_1 - \alpha_2 + 2\alpha_3,\;\beta_3 = \alpha_1 + \alpha_2 + \alpha_3$，矩阵 $A = \begin{pmatrix} 3 & 1 & -2 \\ 0 & 2 & -1 \\ 1 & 2 & 3 \end{pmatrix}$。

(1) 证明 $\beta_1, \beta_2, \beta_3$ 是基

写出关系式：

$$(\beta_1, \beta_2, \beta_3) = (\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3)P$$

其中过渡矩阵 $P = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & -1 & 1 \\ 0 & 2 & 1 \end{pmatrix}$。

计算行列式：

$$|P| = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & -1 & 1 \\ 0 & 2 & 1 \end{vmatrix} \neq 0 \implies \beta_1, \beta_2, \beta_3 \text{ 是基}.$$

(2) 求 $\mathcal{A}$ 在基 $\beta_1, \beta_2, \beta_3$ 下的矩阵 $B$

套公式：

$$B = P^{-1}AP$$

答案：

$$B = \begin{pmatrix} 1 & -12 & -7 \\ 1 & -5 & -3 \\ 3 & 15 & 12 \end{pmatrix}$$

(3) 求向量 $\alpha = -4\alpha_1 + \alpha_2 - 6\alpha_3$ 在 $\beta_1, \beta_2, \beta_3$ 下的坐标

$$\alpha = (\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3) \begin{pmatrix} -4 \\ 1 \\ -6 \end{pmatrix} = (\beta_1, \beta_2, \beta_3) \left[ P^{-1} \begin{pmatrix} -4 \\ 1 \\ -6 \end{pmatrix} \right] = (\beta_1, \beta_2, \beta_3) \begin{pmatrix} -1 \\ -3 \\ 0 \end{pmatrix}$$

新坐标为：$(-1, -3, 0)^T$

注：或写出增广矩阵 $[\beta_1, \beta_2, \beta_3 \mid \alpha] \to [I \mid X]$，其中 $X$ 为新坐标。

3. 例3：相似矩阵求未知数与可逆阵 $P$

已知矩阵 $A$ 相似于 $B$，求未知数：

• 利用特征多项式相等：

  $$|\lambda I - A| = |\lambda I - B|$$

• 比较同次项系数，解得答案。

求可逆阵 $P$（即对角化问题）：

1. 求特征值：计算 $|\lambda I - A| = 0$ 所得的 $\lambda$。

2. 求基础解系：代入 $(\lambda I - A)x = 0$ 求基础解系。

3. 基础解系拼起来所得的矩阵即为 $P$。

4. 例4：证明子空间

已知线性变换 $\mathcal{A}$ 在 $\varepsilon_1, \varepsilon_2, \varepsilon_3$ 下的矩阵为 $\begin{pmatrix} 3 & 1 & -1 \\ 2 & 2 & -1 \\ 2 & 2 & 0 \end{pmatrix}$。求证：$U = L(\varepsilon_3, \varepsilon_1 + \varepsilon_2 + 2\varepsilon_3)$ 是 $\mathcal{A}$-子空间。

证法（利用定义）：

根据基和线性变换矩阵写出映射关系：

$$\begin{cases} \mathcal{A}(\varepsilon_1) = 3\varepsilon_1 + 2\varepsilon_2 + 2\varepsilon_3 \\ \mathcal{A}(\varepsilon_2) = \varepsilon_1 + 2\varepsilon_2 + 2\varepsilon_3 \\ \mathcal{A}(\varepsilon_3) = -\varepsilon_1 - \varepsilon_2 \end{cases}$$

任取 $\beta \in U$，则 $\beta = k_1\varepsilon_3 + k_2(\varepsilon_1 + \varepsilon_2 + 2\varepsilon_3)$。

计算 $\mathcal{A}(\beta)$：

$$\begin{aligned} \mathcal{A}(\beta) &= \mathcal{A}[k_1\varepsilon_3 + k_2(\varepsilon_1 + \varepsilon_2 + 2\varepsilon_3)] \\ &= k_1\mathcal{A}(\varepsilon_3) + k_2\mathcal{A}(\varepsilon_1) + k_2\mathcal{A}(\varepsilon_2) + 2k_2\mathcal{A}(\varepsilon_3) \\ &= k_1(-\varepsilon_1 - \varepsilon_2) + k_2(3\varepsilon_1 + 2\varepsilon_2 + 2\varepsilon_3) + k_2(\varepsilon_1 + 2\varepsilon_2 + 2\varepsilon_3) + 2k_2(-\varepsilon_1 - \varepsilon_2) \\ &= (2k_2 - k_1)\varepsilon_1 + (2k_2 - k_1)\varepsilon_2 + 4k_2\varepsilon_3 \end{aligned}$$

将 $\mathcal{A}(\beta)$ 用 $U$ 的生成元 $\varepsilon_3$ 与 $\varepsilon_1 + \varepsilon_2 + 2\varepsilon_3$ 表示：

$$\begin{aligned} \mathcal{A}(\beta) &= 2k_1\varepsilon_3 + (2k_2 - k_1)(\varepsilon_1 + \varepsilon_2 + 2\varepsilon_3) \in U \end{aligned}$$

故 $U$ 是 $\mathcal{A}$-子空间，得证。

通用步骤总结：

1. 根据基和线性变换矩阵写出 $\mathcal{A}(\varepsilon_i)$ 的表达式。

2. 任取 $\beta \in U$，写出其线性组合形式：$\beta = l_1\beta_1 + l_2\beta_2 + \cdots + l_m\beta_m$。

3. 计算线性变换：$\mathcal{A}(\beta) = \mathcal{A}(l_1\beta_1 + \cdots + l_m\beta_m)$。

4. 化简，若结果仍能表示为 $\beta_1, \cdots, \beta_m$ 的线性组合，则得证。

---

五、求 $\mathcal{A}$ 的值域与核的维数和基

1. 值域 (Range)

$$\mathcal{A}V = L(\mathcal{A}\varepsilon_1, \mathcal{A}\varepsilon_2, \cdots, \mathcal{A}\varepsilon_n)$$

即值域由基向量的像张成，其维数等于 $\mathcal{A}\varepsilon_1, \dots, \mathcal{A}\varepsilon_n$ 的极大无关组中向量的个数。

2. 核 (Kernel)

$$\ker\mathcal{A} = \{\alpha \mid \mathcal{A}\alpha = 0, \alpha \in V\}$$

设 $\alpha = x_1\varepsilon_1 + x_2\varepsilon_2 + \cdots + x_n\varepsilon_n \in \ker\mathcal{A}$，则根据定义：

$$A x = 0$$

即求解齐次线性方程组的基础解系：

• 基础解系即为核的一组基。

• 基础解系中向量的数量即为核的维数。

---

返回总目录