相似标准型 | 文逸行

线性代数笔记：相似标准型、$\lambda$-矩阵与若尔当标准型

一、 $\lambda$-矩阵与相似标准型

1. $\lambda$-矩阵的定义

$$\lambda\text{-矩阵 } A(\lambda) = \big(a_{ij}(\lambda)\big)_{m \times n}$$

可以表示为：

$$A(\lambda) = A_m \lambda^m + A_{m-1} \lambda^{m-1} + \cdots + A_1 \lambda + A_0$$

其中 $A_i$ 为常数矩阵（数字矩阵）。

• 可逆的条件：

  $$|A(\lambda)| \ne 0 \text{ 且为常数}.$$

2. $\lambda$-矩阵的标准型（Smith 标准型）

$$\begin{pmatrix} d_1(\lambda) & & & & & \\ & d_2(\lambda) & & & & \\ & & \ddots & & & \\ & & & d_r(\lambda) & & \\ & & & & 0 & & \\ & & & & & \ddots & \\ & & & & & & 0 \end{pmatrix}$$

其中 $d_i(\lambda)$ 是首项系数为 1 的多项式，且满足整除关系：

$$d_1(\lambda) \mid d_2(\lambda) \mid \cdots \mid d_r(\lambda)$$

（即后一个多项式总能被前一个整除）。

3. 行列式因子 (Determinant Factors)

全部 $k$ 阶子式的首项系数为 1 的最大公因式 $D_k(\lambda)$ 称为 $A(\lambda)$ 的 $k$ 阶行列式因子。

• 重要结论：行列式因子相同 $\iff$ 矩阵相似。

4. 不变因子 (Invariant Factors)

不变因子 $d_i(\lambda)$ 与行列式因子 $D_k(\lambda)$ 的关系为：

$$d_1(\lambda) = D_1(\lambda),\quad d_2(\lambda) = \frac{D_2(\lambda)}{D_1(\lambda)},\quad \cdots,\quad d_n(\lambda) = \frac{D_n(\lambda)}{D_{n-1}(\lambda)}$$

• 重要结论：不变因子相同 $\iff$ 矩阵相似。

5. 初等因子 (Elementary Divisors)

将所有非平凡的不变因子分解成首项系数为 1 的两两不同的两两互素的不可约多项式次幂的乘积，这些幂方项即为初等因子。

示例：若某矩阵的不变因子为 $(\lambda-2), (\lambda-2)(\lambda-1)^2$，则它的初等因子为：

$$(\lambda-2), (\lambda-2), (\lambda-1)^2$$

• 矩阵等价的充要条件：秩和不变因子相同 $\iff$ 矩阵等价。

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二、 特征矩阵与若尔当标准型 (Jordan Normal Form)

1. 核心概念与性质

• 凯莱-哈密顿定理：

  $$f(\lambda) \text{ 使 } f(A) = 0 \iff A \text{ 以 } A \text{ 为根}.$$

• 最小多项式 $m(\lambda)$：最小多项式与最后一个不变因子 $d_n(\lambda)$ 相同。

• 对角化条件：

  $$A \text{ 与对角矩阵相似} \iff \text{最小多项式无重根}.$$

2. 若尔当标准型结构

若尔当标准型由若干个若尔当块（Jordan Block）组成：

$$\begin{pmatrix} J_1 & & \\ & J_2 & \\ & & \ddots \\ & & & J_s \end{pmatrix}$$

其中每一个若尔当块 $J_i$ 的形式为：

$$J_i = \begin{pmatrix} \lambda & 0 & \cdots & \cdots & 0 & 0 \\ 1 & \lambda & \cdots & \cdots & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & & \vdots & \vdots \\ \vdots & \vdots & & \ddots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1 & \lambda & 0 \\ 0 & 0 & \cdots & \cdots & 1 & \lambda \end{pmatrix}$$

3. 如何求若尔当标准型

通用步骤：

1. 求特征值：解 $|\lambda I - A| = 0$，得特征值 $\lambda_1,\dots,\lambda_s$。

2. 对每个特征值 $\lambda_i$，确定若尔当块：

   • 计算 $d_k = \dim\ker(A - \lambda_i I)^k$（零空间维数），$k = 1,2,\dots$ 直到维数稳定
   • 若尔当块个数 $= d_1$（即几何重数）
   • 大小 $\ge k$ 的若尔当块个数 $= d_k - d_{k-1}$（约定 $d_0 = 0$）
   • 大小恰好 $= k$ 的若尔当块个数 $= (d_k - d_{k-1}) - (d_{k+1} - d_k)$

3. 组合：将所有若尔当块按对角排列。

注：若 $d_1$ 等于代数重数，则全部为 $1\times1$ 若尔当块（即可对角化）。

例题：已知 $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}$，求其若尔当标准型。

解：

1. 求特征值：

   $$|\lambda I - A| = \begin{vmatrix} \lambda-2 & -1 & 0 \\ 0 & \lambda-2 & 0 \\ 0 & 0 & \lambda-3 \end{vmatrix} = (\lambda-2)^2(\lambda-3)$$
   
   所以特征值为：
   $$\lambda_1 = \lambda_2 = 2,\quad \lambda_3 = 3$$

2. 分析若尔当块：

   • 当 $\lambda = 2$ 时：
     $$A - 2I = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix},\quad \text{rank}=2$$
     
     
     $$d_1 = \dim\ker(A-2I) = 3-2 = 1 \quad \Rightarrow \quad 1\text{ 个若尔当块}$$
     
     
     $$(A-2I)^2 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix},\quad \text{rank}=1$$
     
     
     $$d_2 = 3-1 = 2,\quad d_3 = 2 \text{（稳定）}$$
     
     大小恰好为 2 的块个数 $= (d_2-d_1)-(d_3-d_2) = (2-1)-(2-2) = 1$
     
     $$\Rightarrow \lambda=2 \text{ 对应一个 } 2\times2 \text{ 若尔当块}$$
   • 当 $\lambda = 3$ 时（1重根），对应 $1\times1$ 若尔当块：
     $$\begin{pmatrix}3\end{pmatrix}$$

3. 最终组合成的若尔当标准型为：
   

   $$\begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}$$

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三、 计算示例：求 $D_4(\lambda)$

对于手稿中的 $4 \times 4$ 特征矩阵：

$$\begin{vmatrix} \lambda-2 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & \lambda+1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & \lambda & 1 \\ 0 & 3 & 4 & \lambda+1 \end{vmatrix}$$

按第一列展开：

$$\begin{aligned} D_4(\lambda) & = (\lambda-2) \begin{vmatrix} \lambda+1 & 2 & 0 \\ 0 & \lambda & 1 \\ 3 & 4 & \lambda+1 \end{vmatrix} \\ & = (\lambda-2)\big[(\lambda+1)(\lambda(\lambda+1)-4) - 2(0-3) \big] \\ & = (\lambda-2)\big[(\lambda+1)(\lambda^2+\lambda-4) + 6 \big] \\ & = (\lambda-2)(\lambda^3+2\lambda^2-3\lambda+2) \end{aligned}$$

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四、 变换矩阵的求法

若 $A(\lambda) \longrightarrow \text{标准型 } B(\lambda)$，求可逆 $\lambda$-矩阵 $P(\lambda), Q(\lambda)$ 使得：

$$B(\lambda) = P(\lambda)A(\lambda)Q(\lambda)$$

通用高斯变换技巧（大增广矩阵法）：构建如下的联合矩阵进行初等变换：

$$ \left(\begin{array}{c|c} A(\lambda) & I \\ \hline I & 0 \end{array}\right) \longrightarrow \left(\begin{array}{c|c} B(\lambda) & P(\lambda) \\ \hline Q(\lambda) & \end{array}\right) $$

• 注：在对 $A(\lambda)$ 进行化简时，不需要做对称变换，行变换产生的效果记录在右侧，列变换产生的效果记录在下方。

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