多项式

一、多项式整除

若 $h(x) \neq 0$ ， $f(x) = g(x) \cdot h(x)$ ，则称 $g(x)$ 整除 $f(x)$ ，记作 $g(x) \mid f(x)$

$g(x)$ 为因式
$f(x)$ 为倍式

性质： $f(x) = g(x) \cdot h(x) = 0 \Rightarrow g(x) = 0$ 或 $h(x) = 0$

定理： $k > 1$ 时， $[g(x)]^k \mid f(x) \Rightarrow [g(x)]^{k-1} \mid f^{\prime}(x)$

因式分解

标准分解式： $f(x) = cp_1^{r_1}(x)p_2^{r_2}(x)\cdots p_s^{r_s}(x)$ ，其中 $p^i(x)$ 是不同的首项系数为1的不可约多项式。

复系数~： $f(x) = a(x - a_1)^{l_1}(x - a_2)^{l_2}\cdots (x - a_s)^{l_s}$
实系数~： $f(x) = a(x - c_1)^{l_1}\cdots (x - c_s)^{l_s}(x^2 + p_1x + q_1)^{k_1}\cdots (x^2 + p_rx + q_r)^{k_r}$

重因式：设 $p(x), f(x) \in F[x]$ ，且 $p(x)$ 为不可约多项式，如果 $p^k(x) \mid f(x)$ ，而 $p^{k+1}(x) \nmid f(x)$ ，则称 $p(x)$ 为多项式 $f(x)$ 的 $k$ 重因式。

✅重因式和根的关系： $f(\alpha)=0 \iff (x-\alpha) \mid f(x), (x-\alpha)=0$ ，其中 $\alpha$ 就是根。

重因式

定理 4.4.3 如果不可约多项式 $p(x)$ 是 $f(x)$ 的 $k$ 重因式 ( $k \ge 2$ )，那么它是 $f^{\prime}(x)$ 的 $k-1$ 重因式.

推论 4.4.3 不可约多项式 $p(x)$ 是 $f(x)$ 的重因式的充分必要条件为 $p(x)$ 是 $f(x)$ 与 $f^{\prime}(x)$ 的公因式.

推论 4.4.4 多项式 $f(x)$ 没有重因式的充分必要条件是 $f(x)$ 与 $f^{\prime}(x)$ 互素.

推论 4.6.1 实数域上的不可约多项式或为一次多项式或为二次多项式：

ax^2 + bx + c, \quad \text{且} \quad b^2 - 4ac < 0.

有理根定理 若 $f\left(\frac{r}{s}\right) = 0$ ， $a_n$ 是最高次项系数， $a_0$ 是常数项，r，s互素，则：

$s \mid a_n$
$r \mid a_0$

艾森斯坦 (Eisenstein) 判别法 设 $f(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_0$
是一个整系数多项式，如果存在一个素数 $p$ ，使得

(1) $p \nmid a_n$ ;

(2) $p \mid a_{n-1}, a_{n-2}, \cdots, a_0$ ;

(3) $p^2 \nmid a_0$ ,

那么 $f(x)$ 在有理数域上是不可约的。

例题

例 1. 确定 $a, b$ 使 $(x-1)^2 \mid ax^4 + bx^3 + 1$ .

核心：定理 4.4.3

步骤：

$f(x)$ 求导
从原式的因式找到根 $\alpha$ ，令 $\begin{cases} f(\alpha) = 0, \\ f^{\prime}(\alpha) = 0. \end{cases}$
解方程组即可求得答案

解：令 $f(x) = ax^4 + bx^3 + 1$ ，则 $f^{\prime}(x) = 4ax^3 + 3bx^2$ ，由题意
$(x-1)$ 是 $f(x) = ax^4 + bx^3 + 1$ 的二重因式，则 $(x-1) \mid f(x), (x-1) \mid f^{\prime}(x)$ ，于是