多项式 | 文逸行

多项式

一、多项式整除

若 $h(x) \neq 0$，$f(x) = g(x) \cdot h(x)$，则称 $g(x)$ 整除 $f(x)$，记作 $g(x) \mid f(x)$

• $g(x)$ 为因式

• $f(x)$ 为倍式

性质：$f(x) = g(x) \cdot h(x) = 0 \Rightarrow g(x) = 0$ 或 $h(x) = 0$

定理：$k > 1$ 时，$[g(x)]^k \mid f(x) \Rightarrow [g(x)]^{k-1} \mid f^{\prime}(x)$

因式分解

标准分解式：$f(x) = cp_1^{r_1}(x)p_2^{r_2}(x)\cdots p_s^{r_s}(x)$，其中$p^i(x)$是不同的首项系数为1的不可约多项式。

• 复系数~：$f(x) = a(x - a_1)^{l_1}(x - a_2)^{l_2}\cdots (x - a_s)^{l_s}$

• 实系数~：$f(x) = a(x - c_1)^{l_1}\cdots (x - c_s)^{l_s}(x^2 + p_1x + q_1)^{k_1}\cdots (x^2 + p_rx + q_r)^{k_r}$

重因式：设 $p(x), f(x) \in F[x]$，且 $p(x)$ 为不可约多项式，如果 $p^k(x) \mid f(x)$，而 $p^{k+1}(x) \nmid f(x)$，则称 $p(x)$ 为多项式 $f(x)$ 的 $k$ 重因式。

✅重因式和根的关系：$f(\alpha)=0 \iff (x-\alpha) \mid f(x), (x-\alpha)=0$ ，其中$\alpha$就是根。

重因式

定理 4.4.3 如果不可约多项式 $p(x)$ 是 $f(x)$ 的 $k$ 重因式 ($k \ge 2$)，那么它是 $f^{\prime}(x)$ 的 $k-1$ 重因式.

推论 4.4.3 不可约多项式 $p(x)$ 是 $f(x)$ 的重因式的充分必要条件为 $p(x)$ 是 $f(x)$ 与 $f^{\prime}(x)$ 的公因式.

推论 4.4.4 多项式 $f(x)$ 没有重因式的充分必要条件是 $f(x)$ 与 $f^{\prime}(x)$ 互素.

推论 4.6.1 实数域上的不可约多项式或为一次多项式或为二次多项式：

$$ax^2 + bx + c, \quad \text{且} \quad b^2 - 4ac < 0.$$

有理根定理 若 $f\left(\frac{r}{s}\right) = 0$，$a_n$ 是最高次项系数，$a_0$ 是常数项，r，s互素，则：

• $s \mid a_n$

• $r \mid a_0$

艾森斯坦 (Eisenstein) 判别法 设 $f(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_0$
是一个整系数多项式，如果存在一个素数 $p$，使得

(1) $p \nmid a_n$;

(2) $p \mid a_{n-1}, a_{n-2}, \cdots, a_0$;

(3) $p^2 \nmid a_0$,

那么 $f(x)$ 在有理数域上是不可约的。

例题

例 1. 确定 $a, b$ 使 $(x-1)^2 \mid ax^4 + bx^3 + 1$.

核心：定理 4.4.3

步骤：

• $f(x)$求导

• 从原式的因式找到根 $\alpha$ ，令$\begin{cases} f(\alpha) = 0, \\ f^{\prime}(\alpha) = 0. \end{cases}$

• 解方程组即可求得答案

解： 令 $f(x) = ax^4 + bx^3 + 1$，则 $f^{\prime}(x) = 4ax^3 + 3bx^2$，由题意
$(x-1)$ 是 $f(x) = ax^4 + bx^3 + 1$ 的二重因式，则 $(x-1) \mid f(x), (x-1) \mid f^{\prime}(x)$，于是

$$f(1) = 0, \quad f'(1) = 0,$$

即

$$\begin{cases} a + b + 1 = 0, \\ 4a + 3b = 0. \end{cases}$$

得 $a = 3, b = -4$.

例 2. 求多项式 $f(x) = 3x^4 + 5x^3 + x^2 + 5x - 2$ 的有理根：

核心：有理根定理

步骤：

• 列出$a_{0}$ 和 $a_{n}$ 的全部因式

• $a_{0}$ 做分母， $a_{n}$ 做分子，列出可能的有理根。

• 将有理根代回原式验算，结果为1的是根。

解. 设 $\frac{r}{s}$ 是有理根，则 $s \mid 3, \ r \mid -2$，可能的有理根为 $\pm 1, \ \pm 2, \ \pm \frac{1}{3}, \ \pm \frac{2}{3}$，

验算知 $-2$ 及 $\frac{1}{3}$ 都是根。

例 3. 判断多项式 $x^4 - 8x^3 + 12x^2 + 2$ 在有理数域上是否可约：

步骤：

• 验算 $p \nmid a_n$； $p \mid a_{n-1}, a_{n-2}, \cdots, a_0$；$p^2 \nmid a_0$

• 全部成立时不可约

解： 取素数 $p = 2$，则 $2 \nmid 1, \ 2 \mid -8, 12, 0, 2$，但是 $p^2 \nmid 2$，由艾森斯坦判别法知，该多项式在有理数域上不可约。

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