线性方程组理论 | 文逸行

线性方程组理论

3.5 线性方程组理论

一、有解条件

非齐次线性方程组 $Ax = \beta$：

• 有解 $\Leftrightarrow r(A) = r(\bar{A})$（系数矩阵秩 = 增广矩阵秩）

  • $= n$：唯一解
  • $< n$：无穷多组解（$n$ 为未知数个数）

齐次线性方程组 $Ax = 0$：

• $r(A) = n$：唯一零解

• $r(A) < n$：无穷多非零解

注：解空间维数 $= n - r$（$n$ 为未知数个数，$r$ 为系数矩阵的秩）

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二、解的结构

1. 基础解系

$Ax = 0$ 的一组解向量，满足：

1. 线性无关

2. 可表达全部解向量

条件：有非零解

个数：$n - r$ = 自由未知量个数

求 $Ax = 0$ 的基础解系步骤：

1. 将系数矩阵 化简为行最简形

2. 确定自由未知量个数 $= n - r$

3. 确定自由未知量

4. 写出化简后的表达式

5. 将自由未知量移至右侧

6. 令自由未知量依次取一个为 1，其余为 0，得出结果，将计算结果依次排列为解向量

例：

$$\begin{cases} x + y = 3 \\ 2x + 2y = 6 \end{cases}$$

对应 $Ax = 0$：

$$\begin{cases} x + y = 0 \\ 2x + 2y = 0 \end{cases}$$ 系数矩阵：$\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 2 \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$

自由未知量个数 $= n - r = 2 - 1 = 1$

令 $y = t$，则 $x = -y = -t$

取 $t = 1$，得 $x = -1$

基础解系：$\xi = \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix}$

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2. 求通解

步骤：

1. 求基础解系

2. 通解形式：$x = \eta_0 + k\eta$

   • 求 $\eta_0$（特解）：设满足方程的数
   • 求 $\eta$（基础解系）

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3. 求极大线性无关组

步骤：

1. 按列写向量组，排成竖着的矩阵

2. 化简为行最简形

3. 非零行个数 = 秩

4. 主元列 即为极大线性无关组

例：

$$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 3 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$

其中主元列为第 1、2、4 列，故：

• $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_4$ 是一个极大线性无关组

• 或 $\alpha_1, \alpha_3, \alpha_4$

• 或 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_5$

• 或 $\alpha_1, \alpha_3, \alpha_5$

分别可为极大线性无关组。

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